Teoria dos Jogos

(Algumas soluções)

Maxmin = Minmax = 6. Jogo tem Ponto de Sela (em estratégias puras).

Solução: Jogador 1 – Estratégia 2; Jogador 2 – Estratégia 1 ou Estratégia 3; Valor do Jogo para o jogador 1=6 (ganho do Jogador 1 = Perda do jogador 2). Valor do Jogo para o jogador 2= -6 (ganhos) ou 6 em perdas.

Maxmin = 30 diferente de Minmax = 36. Jogo não tem Ponto de Sela.

Solução: Jogador 1 – Estratégia 1 com Prob= 5/6 e Estratégia 2 com Prob= 1/6, ou

Jogador 1 – (5/6; 1/6); Jogador 2 – (1/2; 1/2). Valor do Jogo para o jogador 1 = 35 (-35 para o jogador 2)

Maxmin = 400 e Minmax = 500. Não há Ponto de Sela (em Estratégias Puras).

Empresa1 - (3/4; 1/4); Empresa 2 – (1/2; 1/2).Valor do Jogo para Empresa 1 = 450; valor do Jogo para a Empresa 2 = 550

Jogo não tem Ponto de Sela. Estratégia do Jogador 1 = (2/3; 1/3); Estratégia do Jogador 2 = (1/2; 1/2). Valor do Jogo = 0 para ambos os jogadores.

O jogo tem ponto de Sela. Cadeia 1 – Estratégia 2; Cadeia 2 – Estratégia 1. Valor do Jogo para Cadeia 1 = 45 M espectadores; valor do jogo para Cadeia 2 = 55 M espectadores

Estratégias não dominadas; 3 e 4 para o jogador 1. Matriz:

1/2	0
0	1

Jogador 1 = (2/3; 1/3); Jogador 2 = (2/3; 1/3); valor do Jogo para jogador 1 = 1/3

Num ficheiro à parte

Num Ficheiro à parte.

a) Jogo finito, estático, de informação perfeita, de duas pessoas de soma não constante. É um Dilema do Prisioneiro (DP);

b)

Prisioneiro B
Confessa	Não confessa
Prisioneiro	Confessa	(-5; -5)	(0; -10)
A	Não confessa	(-10; 0)	(-2; -2)

c) Confessar, pois é o ponto de equilíbrio (de Nash)

10.	Rússia
Desenv.	Não Desenv.
USA	Desenv.	(-100; -100)	(100; -1000)
Não Desenv.	(-1000; 100)	(0; 0)

Ponto de equilíbrio: (-100; -100). Foi chamada estratégia de corrida aos armamentos e o Equilíbrio de Terror.

11.

Empresa II
A	B	AB
A	(50; 50)	(48; 42)	(38; 62)
Empresa I	B	(42; 48)	(49; 49)	(34; 64)
AB	(62; 38)	(64; 34)	(54; 54)

Ponto de Equilíbrio: (AB; AB) – cada empresa constrói uma fábrica em A e em B.

12. Jogo estático, infinito, de duas pessoas e soma não constante (e não cooperativo), de informação completa ou perfeita.

Apresentação na forma normal:

Conjunto de Jogadores: {Empresa 1; Empresa 2}

Conjuntos de Estratégias:

Função Ganhos (payoff):

= quantidade a produzir pela empresa

Ponto de Equilíbrio (Nash):

Preço de equilíbrio = 400

Lucro Empresa 1 = Lucro Empresa 2 = 112 500

10; 8 13. a)	Tec.A

6; 6	Tec.A Emp.II Tec. B

6; 6 Emp.I Tec.B Tec.A

Emp.II 8; 10 Tec.B

Jogo sequencial, finito, de duas pessoas de soma não constante. Sendo I o primeiro a escolher, (A;A) é ponto de equilíbrio (melhor solução).

Nota1. Se I escolhesse B, II escolheria B;

Nota2. Se II fosse o primeiro a escolher, (B,B) seria ponto de equilíbrio

b) Se as escolhas forem simultâneas, trata-se de um jogo estático, finito, de informação completa, de duas pessoas de soma não constante. Neste caso há dois pontos de equilíbrio: (A,A) e (B,B). Quem decidir primeiro ganha vantagem.

14. a) V({0}) = V({1}) = V({2}) = V({3}) = V({2, 3}) = 0; V({1, 2}) = V({1, 3}) = V({1, 2, 3}) = 1 milhão

b) Núcleo do Jogo: (; ; 0; 0)

c) Valor de Shapley: : (;

16. a) V({0}) = V({2}) = V({3}) = V({2, 3}) = 0; V({1}) = 100 000; V({1, 2}) = 200 000; V({1, 3}) = V({1, 2, 3}) = 300 000

b)	b1) ($100 000, $100 000, $100 000) – Imputação;

b2) ($50 000, $200 000, $50 000) – Não Imputação, racionalidade individual é violada

b3) ($120 000, $190 000, -$10 000) - Não Imputação, racionalidade individual é violada

b4) ($110 000, $110 000, $110 000) - Não Imputação, racionalidade de grupo é violada

c)	Núcleo do Jogo: {(;

17. Piper Séneca: ; DC10: ; Boing 707: ++ 250= 308,33